Urodził się 23 grudnia 1918 roku w Indiach. Od 1950 roku zaczął występować na amerykańskich scenach, popisując się umiejętnością kręcenia talerzami.

Jako dojrzały już mężczyzna pracował w kawiarni swojego syna w Dallas, gdzie często bywali Wes Anderson i Owen Wilson. Tam też filmowcy odkryli Pallanę, który po raz pierwszy pojawił się na ekranie w 1996 roku w filmie "Trzech facetów z Teksasu" Wesa Andersona. Zachwycił wszystkich swoją szczerością.

W 1998 roku wcielił się w rolę pana LittleJeans w filmie "Rushmore" Andersona, a w 2001 zagrał w jego "Genialnym klanie". Dzięki tym rolom stał się popularny aktorem drugoplanowym, angażowanym do takich produkcji, jak "Starsza pani musi zniknąć", czy "Terminal". Ostatnim filmem, w jakim zagrał jest "Skinny Dip", który wyreżyserował Frankie Latina.