W 1986 roku ukończył PWSFTviT w Łodzi, po czym rozpoczął pracę w Teatrze Ochoty w Warszawie, później w latach 1992-93 pracował w Teatrze Powszechnym. Zadebiutował w "Czarnych stopach", filmie przygodowym Waldemara Podgórskiego. W chwili debiutu miał już za sobą udział w kilku etiudach szkolnych, m. in. grał w "Jesiennej nudzie" (1985) i "Mętnej wodzie" (1986).

W 1991 r. zagrał rolę kaprala Wiadernego w "Krollu" Władysława Pasikowskiego. Tę kreację oceniono bardzo wysoko - na Festiwalu Polskich Filmów Fabularnych w Gdyni  Cezary otrzymał za nią nagrodę za drugoplanową role męską oraz nagrodę Prezesa Komitetu ds. Radia i Telewizji.

Z Pasikowskim Pazura współpracował także w "Psach" (1992) i "Psach 2" (1994) gdzie zagrał podporucznika Wademara Morawca - "Nowego", rolę nagrodzoną na festiwalu w Valenciennes w 1995 r.

Kolejną ważną i docenioną przez krytyków rolą była postać Czarka z "Taty" Macieja Ślesickiego (1995), nagrodzona w Gdyni w tym samym roku.

W 1994 roku został laureatem Złotej Kaczki, nagrody przyznawanej przez miesięcznik Film. Tym samym został uznany najpopularniejszym polskim aktorem 1993 roku.

Pazura grał również w filmach Andrzeja Wajdy: w "Pierścionku z orłem w koronie" (1992) wcielił się w postać Kosiora, w "Wielkim Tygodniu" (1995) - Piotrowskiego. W 1993 r. zagrał rolę właściciela kantoru w "Białym" Kieślowskiego. W 1994 r. nakręcono o nim film dokumentalny "Znowu Pazura".

W 1997 r. pierwszy raz wystąpił w serialu komediowym "13 posterunek", w roli policjanta skierowanego do komisariatu na peryferiach za przewinienia w szkole oficerskiej. Grał główną role w popularnych komediach Juliusza Machulskiego "Kiler" (1997) i "Kilerów 2-ów" (1999).

Od października 1998 ma swoją gwiazdę w łódzkiej Alei Gwiazd. W tym samym roku po raz drugi wyróżniono go Złotą Kaczką. W 1999 r. zadebiutował jako producent filmowy, jego dzieło to "Vsichni moji blizci". Dał się też poznać jako piosenkarz: wydał płytę utrzymaną w stylu lat 60.-70., nagrane na niej utwory przeplatają się z zabawnymi opowiastkami Olafa Lubaszenki, Bogusława Lindy, Szymona Majewskiego i Piotra Bukartyka.

W 2000 roku powrócił do postaci Czarka w drugiej serii "13 posterunku". W komedii Olafa Lubaszenki "Chłopaki nie płaczą" zagrał gangstera Freda, a w "Zakochanych" Piotra Wereśniaka – przyjaciela Bartosza Opani. Po kolejnym występie w komedii Lubaszenki - "E=mc2", zagrał tytułową postać w filmie Jacka Bromskiego "Kariera Nikosia Dyzmy". Nie zabrakło Pazury w serialu "Czego się boją faceci, czyli seks w mniejszym mieście". W 2003 roku Wiktor Grodecki powierzył mu główną rolę w adaptacji powieści Witkacego "Nienasycenie", a Maciej Ślesicki – w swojej satyrze na media "Show".

Po "Emilii" Piotra Matwiejczyka można było zobaczyć aktora w dalszej części losów Judyty z "Nigdy w życiu" – komedii "Ja wam pokażę!". Pazura wcielił się w byłego męża bohaterki, Tomasza. W 2006 roku pojawił obok Pawła Wilczaka się w serialu komediowym "Faceci do wzięcia" oraz kontynuacji serialu "Oficer", zatytułowanej "Oficerowie". Do współpracy z Matwiejczykiem powrócił filmem "Wstyd". Tym razem został jednak producentem obrazu opowiadającego o konsekwencjach, jakie gwałt na młodej dziewczynie, ma na trzech mężczyzn.

Z pierwszą żoną rozstał się kiedy ich córeczka Anastazja miała trzy lata. Rok później, w 1994 r. w Sopocie, dokąd przyjechali z Olafem Lubaszenką ze spektaklem "Emigranci", poznał Weronikę, ekonomistkę ukraińskiego pochodzenia, która została jego żoną. Do osiągnięć spoza branży filmowej Pazury należy tytuł mistrza Polski szkół wyższych w siatkówce, zdobyty w 1985 r.