Brandon jest uważany za jednego z najwybitniejszych aktorów w historii. Za występ w filmie "Tramwaj zwany pożądaniem" otrzymał pierwszą z wielu nominacji do Oscara. Za rolę Emiliana Zapaty w "Viva Zapata!" otrzymał nagrodę aktorską na festiwalu w Cannes, nagrodę BAFTA oraz kolejna nominację do Oscara. Nagrody BAFTA dla najlepszego aktora zagranicznego otrzymał aż trzy razy z rzędu, został także uhonorowany za rolę Marka Antoniusza w "Juliuszu Cezarze" oraz za występ w filmie "Na nabrzeżach". Ten ostatni przyniósł mu także pierwszego Oscara i Złoty Glob w karierze.